Question

祖國大陸開放臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元．設f（n）表示前n年的純收入（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）
（Ⅰ）從第幾年開始獲取純利潤？
（Ⅱ）若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬元美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？

Answer 1

由題意知，每年的經費是以12為首項，4為公差的等差數列，
設純利潤與年數的關系為f（n），
則f(n)=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n2+40n-72
（I）純利潤就是要求f（n）＞0，∴-2n²+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知從第三年開始獲利．
（II）①年平均利潤=

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)≤16．當且僅當n=6時取等號．
故此方案先獲利6×16+48=144（萬美元），此時n=6，
②f（n）=-2（n-10）²+128．當n=10時，f（n）_max=128．
故第②種方案共獲利128+16=144（萬美元），
故比較兩種方案，獲利都是144萬美元．
但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①方案．