Question

祖國大陸開放臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元．設(shè)f（n）表示前n年的純收入（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）
（Ⅰ）從第幾年開始獲取純利潤？
（Ⅱ）若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬元美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？

Answer 1

【答案】分析：（I）弄清純利潤就是純收入大于零的關(guān)系，將純收入表示為年份n的表達(dá)式，注意等差數(shù)列知識的運用，通過求解不等式得出開始獲得純利潤的年份；
（II）通過比較法得出哪種方案最合算，關(guān)鍵要得出每種方案獲得的利潤和年份的關(guān)系，用到求函數(shù)最值的思想和方法．
解答：解：由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，
設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f（n），
則
（I）純利潤就是要求f（n）＞0，∴-2n²+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知從第三年開始獲利．
（II）①年平均利潤=．當(dāng)且僅當(dāng)n=6時取等號．
故此方案先獲利6×16+48=144（萬美元），此時n=6，
②f（n）=-2（n-10）²+128．當(dāng)n=10時，f（n）_max=128．
故第②種方案共獲利128+16=144（萬美元），
故比較兩種方案，獲利都是144萬美元．
但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①方案．
點評：本題考查函數(shù)模型的建立問題，關(guān)鍵要理解題意，通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型，通過不等式工具、函數(shù)最值的思想和方法達(dá)到求解的目的．考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想．