Question

祖國(guó)大陸開(kāi)放臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶(hù)可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)．某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠(chǎng)，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元，以后每年增加4萬(wàn)美元，每年銷(xiāo)售蔬菜收入50萬(wàn)美元．設(shè)f（n）表示前n年的純收入（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）
（Ⅰ）從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？
（Ⅱ）若干年后，該臺(tái)商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：①年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬(wàn)元美元出售該廠(chǎng)；②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16萬(wàn)美元出售該廠(chǎng)，問(wèn)哪種方案最合算？

Answer 1

分析：（I）弄清純利潤(rùn)就是純收入大于零的關(guān)系，將純收入表示為年份n的表達(dá)式，注意等差數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，通過(guò)求解不等式得出開(kāi)始獲得純利潤(rùn)的年份；
（II）通過(guò)比較法得出哪種方案最合算，關(guān)鍵要得出每種方案獲得的利潤(rùn)和年份的關(guān)系，用到求函數(shù)最值的思想和方法．

解答：解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
設(shè)純利潤(rùn)與年數(shù)的關(guān)系為f（n），
則f(n)=50n-[12n+

n(n-1)

2

×4]-72=-2n2+40n-72
（I）純利潤(rùn)就是要求f（n）＞0，∴-2n²+40n-72＞0，
解得2＜n＜18．由n∈N知從第三年開(kāi)始獲利．
（II）①年平均利潤(rùn)=

f(n)

n

=40-2(n+

36

n

)≤16．當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào)．
故此方案先獲利6×16+48=144（萬(wàn)美元），此時(shí)n=6，
②f（n）=-2（n-10）²+128．當(dāng)n=10時(shí)，f（n）_max=128．
故第②種方案共獲利128+16=144（萬(wàn)美元），
故比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)美元．
但第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①方案．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立問(wèn)題，關(guān)鍵要理解題意，通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)不等式工具、函數(shù)最值的思想和方法達(dá)到求解的目的．考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想．