已知橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,橢圓的上頂點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成等邊三角形且面積為
3

(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓Γ上一點(diǎn),以M為圓心,MF為半徑作圓M,若圓M與y軸相切,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)由題意知a=2c,bc=
3
,由此能示出橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)設(shè)M(x0,y0),右焦點(diǎn)F(1,0),則圓M的半徑r=
(x0-1)2+y02
,由圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x0|,圓M與y軸相切,結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
解答: 解:(Ⅰ)由題意知a=2c,bc=
3
…(2分)
解得:a=2,b=
3
,c=1
…(4分)
所以橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
4
+
y2
3
=1
.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)M(x0,y0),右焦點(diǎn)F(1,0),
則圓M的半徑r=
(x0-1)2+y02
,
圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x0|,圓M與y軸相切,
則有r=d,即
(x0-1)2+y02
=|x0|
,…(8分)
化簡(jiǎn)得:y02-2x0+1=0,又M為橢圓上的點(diǎn),
y02=3-
3
4
x02
,…(9分)
兩式聯(lián)立消去y0,得3x02+8x0-16=0,
解得x0=-4或x0=
4
3
,…(10分)
又-2≤x0≤2,所以x0=
4
3
y0
15
3
,
即點(diǎn)M坐標(biāo)是(
4
3
,±
15
3
)
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(0,+∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是( 。
A、y=x3
B、y=ex
C、y=x-1
D、y=lnx

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7},則A∩(∁UB)等于(  )
A、{2,4,6}
B、{1,3,5}
C、{2,4,5}
D、{2,5}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=alnx+
2a2
x
+x(a≠0)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性;
(3)當(dāng)a∈(-∞,0)時(shí),記函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求g(a)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1,其中a為實(shí)數(shù),
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若方程f(x)=0在(0,2]上有實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍;
(3)設(shè)ak,bk(k=1,2…,n)均為正數(shù),且a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn,求證:
a
b1
1
a
b2
2
a
bn
n
<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)命題p:方程
x2
a+6
+
y2
a-7
=1表示雙曲線,命題q:圓x2+(y-1)2=9與圓(x-a)2+(y+1)2=16相交.若“p且q”為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知an+1=-an-2bn且bn+1=6an+6bn,a1=2,b1=4,求an、bn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(2sinx,cosx),
n
=(
3
cosx,2cosx),定義函數(shù)f(x)=
.
m
n
-1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某服裝廠在2013年9月共生產(chǎn)了A,B,C三種品牌的男、女羽絨服2000件,如下表所示:
品牌ABC
女羽絨服100x400
男羽絨服300450y
現(xiàn)從這些羽絨服中隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn),已知抽到品牌B女羽絨服的概率是0.075.
(1)求x、y的值;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在這些羽絨服中隨機(jī)抽取80件進(jìn)行檢驗(yàn),問(wèn)應(yīng)在品牌C中抽取多少件?
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從品牌B女羽絨服中抽8件,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8件羽絨服的得分看做一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.

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