Question

15．已知點(diǎn)A（0，2）為圓C：x²+y²-2ax-2ay=0（a＞0）外一點(diǎn)，圓C上存在點(diǎn)P使得∠CAP=45°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． $[\sqrt{3}-1，1）$
• C． $（0，\sqrt{3}-1]$
• D． $[-\sqrt{3}-1，\sqrt{3}-1]$

Answer 1

分析 化標(biāo)準(zhǔn)方程易得圓的圓心為M（a，a），半徑r=$\sqrt{2}$|a|，由題意可得1≥$\frac{PC}{AC}$≥sin∠CAP，由距離公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圓的圓心為C（a，a），半徑r=$\sqrt{2}$|a|，
∴AC=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，PC=$\sqrt{2}$|a|，
∵AC和PC長(zhǎng)度固定，
∴當(dāng)P為切點(diǎn)時(shí)，∠CAP最大，
∵圓C上存在點(diǎn)P使得∠CAP=45°，
∴若最大角度大于45°，則圓C上存在點(diǎn)P使得∠CAP=45°，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≥sin∠CAP=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥$\sqrt{3}-1$或a≤-$\sqrt{3}-1$，
又$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≤1，解得a≤1，
又點(diǎn) A（0，2）為圓C：x²+y²-2ax-2ay=0外一點(diǎn)，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
∵a＞0，∴綜上可得$\sqrt{3}$-1≤a＜1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般式方程和圓的性質(zhì)，涉及距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．