Question

1．已知函數(shù)f（x）滿足條件：?x∈R，f（x）+f（-x）=0且f（x+t）-f（x）＜0（其中t為正數(shù)），則函數(shù)f（x）的解析式可以是（　�。�

• A． y=xsinx+3
• B． y=x³
• C． y=-sinx
• D． y=-3x

Answer 1

分析 根據(jù)條件可判斷出f（x）在R上為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，這樣看哪個(gè)選項(xiàng)函數(shù)滿足這個(gè)條件即可．

解答 解：f（x）+f（-x）=0；
∴f（-x）=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
f（x+t）-f（x）＜0；
∴f（x+t）＜f（x），t＞0；
∴f（x）在R上為減函數(shù)；
∴f（x）在R上是奇函數(shù)且是減函數(shù)；
A．y=xsinx+3為非奇非偶函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．y=x³在R上為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．y=-sinx在R上沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．一次函數(shù)y=-3x為奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、減函數(shù)的定義，非奇非偶函數(shù)的定義，清楚y=x³和正弦函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)的單調(diào)性．