Question

10．設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{8-{a}^{2}}$=1（a＞0）的焦點(diǎn)在x軸上．
（Ⅰ）若橢圓E的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{5}$a，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為直線x+y=2$\sqrt{2}$與橢圓E的一個(gè)公共點(diǎn)，直線F₂P交y軸于點(diǎn)Q，連結(jié)F₁P，問當(dāng)a變化時(shí)，$\overrightarrow{{F}_{1}P}$與$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的夾角是否為定值，若是定值，求出該定值，若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題知c²=a²-（8-a²）=2a²-8，由$e=\frac{\sqrt{2{a}^{2}-8}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{5}a$得a⁴-25a²+100=0，可得a²
（2）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則c²=2a²-8，聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=2\sqrt{2}}\\{（8-{a}^{2}）{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}（8-{a}^{2}）}\end{array}\right.$得點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線PF₂的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．由$\overrightarrow{{F}_{1}Q}•\overrightarrow{{F}_{1}P}=c（{x}_{0}+c）-\frac{c{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-c}$=$\frac{c（{{x}_{0}}^{2}-{c}^{2}）-{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-c}=0$，可得$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$與$\overrightarrow{{F}_{1}P}$的夾角

解答 解：（1）由題知c²=a²-（8-a²）=2a²-8，由$e=\frac{\sqrt{2{a}^{2}-8}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{5}a$得
a⁴-25a²+100=0，故a²=5或20（舍），故橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；（4分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則c²=2a²-8，
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=2\sqrt{2}}\\{（8-{a}^{2}）{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}（8-{a}^{2}）}\end{array}\right.$得8x²-4$\sqrt{2}{a}^{2}$x+a⁴=0，
即（2$\sqrt{2}x$-a²）²=0，故${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$，${y}_{0}=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$，（7分）
直線PF₂的方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}（x-c）$，令x=0，則$y=\frac{-c{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，$\frac{-c{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$），
故$\overrightarrow{{F}_{1}Q}=（c，\frac{-c{y}_{0}}{{x}_{0}-c}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}P}=（{x}_{0}+c，{y}_{0}）$（9分）
故$\overrightarrow{{F}_{1}Q}•\overrightarrow{{F}_{1}P}=c（{x}_{0}+c）-\frac{c{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-c}$=$\frac{c（{{x}_{0}}^{2}-{c}^{2}）-{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-c}=0$（11分）
故$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$與$\overrightarrow{{F}_{1}P}$的夾角為定值$\frac{π}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，圓錐曲線與向量，及運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．