Question

已知橢圓的離心率，分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積最大時(shí)，直線的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)，弦長(zhǎng)可得，，由此可求，故橢圓的方程為；

（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，所以可寫出

設(shè)，則，則，其中，易證單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，的最大值為.所以，此時(shí)，直線的方程為.

（1）∵∴① 2分

∴ ②，

∴由①②得

∴橢圓的方程為 4分

（2）設(shè)直線的方程為

由

7分

設(shè)，則

則，其中

易證單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，的最大值為 10分

∴

此時(shí)，直線的方程為 12分

考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、三角形的面積公式、勾函數(shù)的性質(zhì)、換元法.