Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-3在x∈[2，4]上最大值為5，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得，函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=a，再分對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、右側(cè)、中間三種情況，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[2，4]上有最大值5，求出實(shí)數(shù)a的值．

解答： 解：由f（x）=（x-a）²-a²-3，得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=a，
 ①當(dāng)a＞4時(shí)，f（x）在[2，4]上遞減，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[2，4]上有最大值5，可得f（2）=5，即a=-1，與a＞4矛盾；
②當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[2，4]上遞增，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[2，4]上有最大值5，可得f（4）=5，解得a=1．
③當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f（x）在[2，a]遞增，在[a，4]上遞減，根據(jù)函數(shù)在[2，4]上有最大值5，可得f（a）=5，即-a²=8，無(wú)解．
綜上，a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．