請分別用復(fù)合函數(shù)方法、換元法，證明函數(shù)y=
x
1-x
+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．
考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：法一：復(fù)合函數(shù)法：根據(jù)函數(shù)y=
x
1-x
+2=1-
1
x-1
，通過考查y=
1
x-1
、y=-
1
x-1
 的單調(diào)性，得出結(jié)論．
法二：換元法，令t=x-1，可得t∈（-∞，-1），y=1-
1
t
，根據(jù)y=1-
1
t
 在（-∞，-1）上是增函數(shù)，得出結(jié)論．
解答： 解：法一：復(fù)合函數(shù)法：函數(shù)y=
x
1-x
+2=
x-1+1
1-x
+2=-1-
1
x-1
+2=1-
1
x-1
，
在區(qū)間（-∞，0）上，∵y=
1
x-1
 是減函數(shù)，y=-
1
x-1
 是增函數(shù)，∴y=1-
1
x-1
 是增函數(shù)，
故函數(shù)y=
x
1-x
+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．
法二：換元法，令t=x-1，∵x∈（-∞，0），∴t∈（-∞，-1），y=1-
1
t
．
由于y=1-
1
t
 在（-∞，-1）上是增函數(shù)，∴函數(shù)y=
x
1-x
+2在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），右焦點(diǎn)F到漸近線的距離小于等于a，則該雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�
A、（
2
，+∞）
B、[
2
，+∞）
C、（1，
2
]
D、（1，
2
）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+
1
2
x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=
3
2
，設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)φ（x）在定義域?yàn)閇m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇m，n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)φ（x）的“同域區(qū)間”，在（1）的條件下，證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)存在“同域區(qū)間”；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，對于區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一個(gè)盒子中裝有6枝圓珠筆，其中3枝黑色，2枝藍(lán)色，1枝紅色，從中任取3枝．
（1）該實(shí)驗(yàn)的基本事件共有多少個(gè)？若將3枝黑色圓珠筆編號(hào)為A、B、C，2枝藍(lán)色圓珠筆編號(hào)為d，e，1枝紅色圓珠筆編號(hào)為x，用{a，b，c}表示基本事件，試列舉出該實(shí)驗(yàn)的所有基本事件；
（2）求恰有一枝黑色的概率；
（3）求至少1枝藍(lán)色的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P0（0，a1）、Pn（an，an+1）（?n∈N*）都在直線2x-y+1=0上．
（1）求證：{an+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{
n
an+1
}（n∈N*）的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aex-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）的圖象與直線y=x相切．
（Ⅰ）求a的值，并求函數(shù)y=f（x）-x的值域；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx+1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞g（x）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將形如
.
ab
cd
.
的符號(hào)稱二階行列式，現(xiàn)規(guī)定
.
ab
cd
.
=ad-bc，函數(shù)f（x）=
.
3sinωx
-
3
cosωx
.
在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若-2＜f（x）-m＜2，在x∈[0，2]上恒成立，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知P為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上一點(diǎn)，Q為直線
x=t
y=2t+6
上一點(diǎn)，求PQ最小值；
（2）在極坐標(biāo)系，圓O：ρ=cosθ+sinθ，直線l：ρsin（θ-
π
4
）=
2
2
，θ∈（0，π），求直線l與圓O交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br />（1）方程x（x2+2x+1）=0的解；
（2）不等式x-3＞4的解集．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案