Question

將形如

.

a b c d

.

的符號稱二階行列式，現(xiàn)規(guī)定

.

a b c d

.

=ad-bc，函數(shù)f（x）=

.

3 sinωx - 3 cosωx

.

在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若-2＜f（x）-m＜2，在x∈[0，2]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件求得函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）依題意，

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

在x∈[0，2]時恒成立，即

m＞f(x)max-2 m＜f(x)min+2

．利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的值域，可得m的范圍．

解答： 解：（1）由題意可得 f（x）=

.

3 sinωx - 3 cosωx

.

=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）=2

3

sin（ωx+

π

3

），
故f（x）_max=2

3

，∴BC=4，

T

2

=4，T=8=

2π

ω

，∴ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得8k-

10

3

≤x≤8k+

2

3

，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：[-

10

3

+8k，

2

3

+8k]，k∈Z．
（2）依題意，

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

在x∈[0，2]時恒成立，
∴

m＞f(x)max-2 m＜f(x)min+2

．
∵x∈[0，2]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，f（x）∈[

3

，2

3

]．
∴m＞2

3

-2，且 m＜

3

+2，故要求的m的范圍是（2

3

-2，

3

+2）．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的恒成立問題，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．