Question

 已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a₂a_n＝S₂＋S_n對(duì)一切正整數(shù)都成立．

(1) 求a₁，a₂的值；

(2) 設(shè)a₁＞0，數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n為何值時(shí)，T_n最大？并求出最大值．

Answer 1

解：(1) 取n＝1時(shí)，a₂a₁＝S₂＋S₁＝2a₁＋a₂，①

取n＝2時(shí)，a＝2a₁＋2a₂.�、�

由②－①得，a₂(a₂－a₁)＝a₂.�、�

若a₂＝0，由①知a₁＝0；

若a₂≠0，由③知a₂－a₁＝1.�、�

由①④解得a₁＝＋1，a₂＝2＋或a₁＝1－，a₂＝2－.　

綜上所述，a₁＝0，a₂＝0或a₁＝＋1，a₂＝＋2或a₁＝1－，a₂＝2－.

(2) 當(dāng)a₁＞0時(shí)，a₁＝＋1，a₂＝＋2.

n≥2時(shí)，有(2＋)a_n＝S₂＋S_n，

(2＋)a_n－1＝S₂＋S_n－1，

∴  (1＋)a_n＝(2＋)a_n－1，

即a_n＝a_n－1(n≥2)，

∴  a_n＝a₁()^n－1＝(＋1)()^n－1.

令，

故{b_n}是遞減的等差數(shù)列，從而b₁＞b₂＞…＞b₇＝lg＞lg1＝0，

n≥8時(shí)，b_n≤b₈＝＝0，

故n＝7時(shí)，T_n取得最大值，T₇＝7－lg2.