Question

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有（為正常數(shù)）.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用與之間的關(guān)系，對(duì)分兩種情況討論，時(shí)，求的值，時(shí)，利用得出與之間的關(guān)系，進(jìn)而利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結(jié)構(gòu)利用倒數(shù)法得到數(shù)列為等差數(shù)列，通過(guò)求處等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）利用（2）中數(shù)列的通項(xiàng)公式，并根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)選擇錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
試題解析：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得．       1分
當(dāng)時(shí)，．即．       2分
又為常數(shù)，且，∴．         3分
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．        4分
（2） 5分 ∵，∴，即． 7分
∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．               8分
∴，即．           9分
（3）由（2）知，則．
所以，                                10分
即，       ①  11分
則，      ②   12分
②－①得，        13分
故．        14分