Question

16．已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，求m的值；
（2）在（1）條件下，是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，若存在，求出c的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，由已知結(jié)合垂徑定理求得m值；
（2）把圓上有四點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d＜1-$\frac{1}{\sqrt{5}}$，求解絕對值的不等式得答案．

解答 解：（1）圓的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑為r=$\sqrt{5-m}$，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為d=$\frac{|1+2×2-4|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由于|MN|=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，則$\frac{1}{2}|MN|$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，有${r}^{2}=kssaqs2^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，
∴5-m=$（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}+（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}$，解得m=4；
（2）假設(shè)存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由于圓心C（1，2），半徑r=1，則圓心C（1，2）到直線l：x-2y+c=0的距離為：
d=$\frac{|1-2×2+c|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}=\frac{|c-3|}{\sqrt{5}}＜|1-\frac{1}{\sqrt{5}}|$，
解得：$2+\frac{\sqrt{5}}{5}＜c＜4-\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查絕對值不等式的解法，是中檔題．