12.已知函數(shù)f(x)=sinωx(sinωx+$\sqrt{3}$cosωx),(ω>0)且函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π.
(1)求f($\frac{π}{12}$)的值;
(2)求函數(shù)y=f(x+$\frac{π}{12}$)在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]上的取值范圍.

分析 (1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù),利用T=$\frac{2π}{ω}$求出ω的值,即求出函數(shù)f(x)表達(dá)式,將x=$\frac{π}{12}$代入即可;
(2)由(1)可知f(x)表達(dá)式,求出y=f(x+$\frac{π}{12}$)的表達(dá)式,利用三角函數(shù)單調(diào)性求解值域,即其取值范圍.

解答 解:(1)由題意得:
f(x)=sinωx(sinωx+$\sqrt{3}$cosωx)=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$(1-cos2ωx)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=sin(2ωx-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
又因?yàn)棣兀?且函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π,
所以T=$\frac{2π}{2ω}$=π,所以ω=1,
所以f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
所以f($\frac{π}{12}$)=sin(2$•\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$;
(2)由(1)可知,
f(x+$\frac{π}{12}$)=sin[2(x+$\frac{π}{12}$)-$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin2x+$\frac{1}{2}$,
又因?yàn)閤∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],
所以2x∈[$-\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$],
所以sin2x∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
所以sin2x+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$],
所以函數(shù)y=f(x+$\frac{π}{12}$)在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]上的取值范圍為[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$].

點(diǎn)評(píng) (1)本題主要考察了二倍角公式和輔助角公式,以及正弦型函數(shù),難度中等;(2)本題利用整體代入法求函數(shù)值域,關(guān)鍵在于對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性的掌握,利用其單調(diào)性求出其值域即可.

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(1)求水上旅游線AB的長;
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(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
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