考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO,由已知條件推導(dǎo)出AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O,則B1O⊥BD,AB1⊥BD,AB1⊥A1B,由此能證明AB1⊥平面A1BD.
(Ⅱ)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C,在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,連結(jié)AF,則∠AFG為二面角A-A1B-B的平面角,由此能求出二面角A-A1D-B的余弦值.
解答:
(Ⅰ)證明:取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO,
∵△ABC為正三角形,
∴AO⊥BC,
∵正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,平面ABC⊥平面BCC
1B
1,
∴AO⊥平面BCC
1B
1,
連結(jié)B
1O,在正方形BB
1C
1C中,O、D分別為BC、CC
1的中點(diǎn),
∴B
1O⊥BD,
∴AB
1⊥BD,
在正方形ABB
1A
1中,AB
1⊥A
1B,
∴AB
1⊥平面A
1BD.
(Ⅱ)解:設(shè)AB
1與A
1B交于點(diǎn)C,
在平面A
1BD中,作GF⊥A
1D于F,連結(jié)AF,
由(Ⅰ)得AB
1⊥平面A
1BD,
∴∠AFG為二面角A-A
1B-B的平面角,
在△AA
1D中,由等面積法可求得AF=
,
又∵AG=
AB1=
,
∴sin
∠AFG==
=
,∴cos∠AFG=
.
∴二面角A-A
1D-B的余弦值為
.
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).