如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的余弦.
考點(diǎn):二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO,由已知條件推導(dǎo)出AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O,則B1O⊥BD,AB1⊥BD,AB1⊥A1B,由此能證明AB1⊥平面A1BD.
(Ⅱ)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C,在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,連結(jié)AF,則∠AFG為二面角A-A1B-B的平面角,由此能求出二面角A-A1D-B的余弦值.
解答: (Ⅰ)證明:取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO,
∵△ABC為正三角形,
∴AO⊥BC,
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1
連結(jié)B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn),
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD,
在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,
∴AB1⊥平面A1BD.
(Ⅱ)解:設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C,
在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,連結(jié)AF,
由(Ⅰ)得AB1⊥平面A1BD,
∴∠AFG為二面角A-A1B-B的平面角,
在△AA1D中,由等面積法可求得AF=
4
5
5

又∵AG=
1
2
AB1
=
2
,
∴sin∠AFG=
AG
AF
=
2
4
5
5
=
10
4
,∴cos∠AFG=
6
4

∴二面角A-A1D-B的余弦值為
6
4
點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x3+ax2-a2x+2
(1)若a≠0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式2xlnx≤f′(x)+a2+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x+
a
x
+b(a,b∈R)為奇函數(shù).
(Ⅰ)若f(1)=5,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)當(dāng)a≥1時(shí),討論函數(shù)g(x)=f(2x)-c(c∈R)在(-∞,-1]上的單調(diào)性,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=axlnx+b(a,b∈R)的圖象過點(diǎn)(1,0)且在此點(diǎn)處的切線斜率為1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)若g(x)=
1
2
x2-mx+
3
2
,存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)≥g(x0)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

當(dāng)前環(huán)境問題已成為問題關(guān)注的焦點(diǎn),為減少汽車尾氣對城市空氣的污染,某市決定對出租車實(shí)行使用液化氣替代汽油的改裝工程,原因是液化氣燃燒后不產(chǎn)生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體,對大氣無污染,或者說非常小.請根據(jù)以下數(shù)據(jù):①當(dāng)前汽油價(jià)格為2.8元/升,市內(nèi)出租車耗油情況是一升汽油大約能跑12km;②當(dāng)前液化氣價(jià)格為3元/千克,一千克液化氣平均可跑15~16km;③一輛出租車日平均行程為200km.
(1)從經(jīng)濟(jì)角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經(jīng)濟(jì)(即省錢);
(2)假設(shè)出租車改裝液化氣設(shè)備需花費(fèi)5000元,請問多長時(shí)間省出的錢等于改裝設(shè)備花費(fèi)的錢.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓的方程:x2+y2=2
(1)若點(diǎn)P(x,y)在圓上,求x+y的取值范圍;
(2)過點(diǎn)P(2,4)作圓的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).
①求PA,PB的方程;
②求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)P1
6
,1),P2(-
3
,-
2
),求橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,AP=AB=
2
,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:AE⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AD=1,求二面角B-EC-D的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn),過F1作直線l交此橢圓于A、B兩點(diǎn),則△ABF2的周長為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案