Question

已知f（x）=x³+a^x2-a²x+2
（1）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）分離出參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題解決，注意函數(shù)定義域．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f'（x）=0得x=-a或

a

3

，
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．
由f'（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
由f'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a，
由f'（x）＞0，得x＜

a

3

或x＞-a，
此時(shí)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

3

，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），
綜上：當(dāng)a＞0時(shí)，f單調(diào)遞減區(qū)間為（-a，

a

3

），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和（

a

3

，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

a

3

，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

a

3

）和（-a，+∞），
（2）依題意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，
等價(jià)于2xlnx≤3x²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
令h′（x）=0，得x=1，x=-

1

3

（舍），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調(diào)遞增	-2	單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題，不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決．