Question

12．已知曲線y=x³-1與曲線y=3-$\frac{1}{2}$x²在x=x₀處的切線互相垂直，則x₀的值為$\frac{\root{3}{9}}{3}$．

Answer 1

分析 根據導數的幾何意義，分別求出兩條曲線的切線斜率，利用切線互相垂直得到斜率的積=-1，即可得到結論．

解答 解：∵y=x³-1，
∴函數的導數f′（x）=3x²，在x=x₀處的切線斜率k=f′（x₀）=3x₀²，
∵曲線y=3-$\frac{1}{2}$x²，
∴函數的導數y′=g′（x）=-x，在x=x₀處的切線斜率k=g′（x₀）=-x₀，
若曲線y=x³-1與曲線y=3-$\frac{1}{2}$x²在x=x₀處的切線互相垂直，
則3x₀²•（-x₀）=-1，
解得x₀=$\frac{\root{3}{9}}{3}$，
故答案為：$\frac{\root{3}{9}}{3}$．

點評 本題主要考查導數的幾何意義以及直線垂直的等價條件，要求熟練掌握導數的幾何意義．