Question

13．設f（x）是R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$2+2\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由當x≥0時，f（x）=x²，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當x＜0時，f（x）=-x²，從而f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足3f（x）=f（$\sqrt{3}$x），再根據(jù)不等式f（x+a）≥3f（x）=f（$\sqrt{3}$x）在[a，a+2]恒成立，可得x+a≥$\sqrt{3}$x在[a，a+2]恒成立，即可得出答案．

解答 解：∵當x≥0時，f（x）=x²，
∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥3f（x）恒成立，
∵3f（x）=3x²=（$\sqrt{3}$x）²=f（$\sqrt{3}$x），
∴f（x+a）≥f（$\sqrt{3}$x）恒成立，
則x+a≥$\sqrt{3}$x恒成立，
即a≥-x+$\sqrt{3}$x=（$\sqrt{3}$-1）x恒成立．
∵x∈[a，a+2]，
∴[（$\sqrt{3}$-1）x]_max=（$\sqrt{3}$-1）（a+2），
即a≥（$\sqrt{3}$-1）（a+2），
解得a≥$2+2\sqrt{3}$．
即實數(shù)a的取值范圍是[$2+2\sqrt{3}$，+∞）．
故答案為：[$2+2\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，以及不等式恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．