Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，直線y=x+1被以橢圓的短軸為直徑的圓截得弦長為$\sqrt{10}$，拋物線D以原點為頂點，橢圓的右焦點為焦點．
（Ⅰ）求橢圓C與拋物線D的方程；
（Ⅱ）已知A，B是橢圓C上兩個不同點，且OA⊥OB，判定原點O到直線AB的距離是否為定值，若為定值求出定值，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率a=2c，橢圓短軸為直徑的圓的圓心到直線y=x+1距離d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，求解解得a，c，求出p，
即可得到橢圓C的方程，拋物線D方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB與x軸垂直時，設(shè)AB：x=m，則$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，利用OA⊥OB，求出m，推出原點到直線AB的距離．當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入3x²+4y²-12=0，利用韋達定理以及判別式大于0，利用向量數(shù)量積為0，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題知$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c，橢圓短軸為直徑的圓的圓心到直線y=x+1距離d=$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$，
∴$\sqrt{10}$=$2\sqrt{{b^2}-\frac{1}{2}}$，解得b=$\sqrt{3}$，∴a²=$3+\frac{a^2}{4}$，解得a²=4，∴c=1，∴$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，拋物線D方程為y²=4x；  5分
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB與x軸垂直時，設(shè)AB：x=m，則$y=±\frac{{\sqrt{12-3{m^2}}}}{2}$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=${m^2}-\frac{{12-3{m^2}}}{4}$=0，解得m=$±\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，
∴原點到直線AB的距離為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．     7分．
當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入3x²+4y²-12=0整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
則△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即4k²-m²+3＞0，x₁+x₂=$-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$+$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$=0，即7m²=12（k²+1），
且滿足△＞0，10分
∴原點到直線AB的距離為$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，11分
故原點O到直線AB的距離為定值，定值為$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$． 12分．

點評 本題考查向量與解析幾何相聯(lián)系，拋物線以及橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．