Question

10．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，$\sqrt{2}$），且離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PQ上．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{PM}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{NQ}$，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，利用A（0，$\sqrt{2}$），b²=2，由離心率，解得a²=8，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直線l與y軸重合，求出$λ=\sqrt{2}$；若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$求出λ的表達(dá)式，然后求解其范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$
因?yàn)樗�的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，$\sqrt{2}$），所以b²=2，由離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得$\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a²=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），若直線l與y軸重合，則$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}=\frac{{2-\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}-{y_0}}}=\frac{{2+\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+{y_0}}}$，得y₀=1，得$λ=\sqrt{2}$；
若直線l與y軸不重合，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$①，
${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$②，
由$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$得$\frac{{0-{x_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}=\frac{{0-{x_2}}}{{{x_0}-{x_2}}}$，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），
將①②代入得${x_0}=-\frac{1}{k}$，又點(diǎn)N（x₀，y₀）在直線l上，
所以${y_0}=k×（-\frac{1}{k}）+2=1$，
于是有$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，
因此$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{{1-{y_1}+1}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，
由$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$得$\frac{1}{{{y_1}-1}}＞\sqrt{2}+1$，所以$λ＞\sqrt{2}$，
綜上所述，有$λ≥\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．