Question

16．過點（2$\sqrt{2}$，0）且方向向量為（k，1）的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1僅有一個交點，則實數(shù)k的值為0或±$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線的方程可知直線恒過（2$\sqrt{2}$，0）點，進(jìn)而可推斷出要使直線與雙曲只有一個公共點，需直線與雙曲線相切或與漸近線平行，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程求得其漸近線方程，求得k的值．

解答 解：依題意可知直線l恒過（2$\sqrt{2}$，0）點，
即雙曲線的右頂點，雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
要使直線與雙曲線只有一個公共點，則該直線與雙曲線相切，
即垂直于x軸，即有k=0；
當(dāng)直線與漸近線平行，
即有$\frac{1}{k}$=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即k=±$\sqrt{2}$，
此時直線與雙曲線僅有一個交點．
故答案為：0或±$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．