Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a}{x}$+（1-a²）lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若y=f（x）在x=1處的切線斜率為1．
①設(shè)g（x）=xf（x）+（t-x）f（t-x）（其中t為正常數(shù)），求函數(shù)g（x）的最小值；
②若m＞0，n＞0，證明：mf（m）+nf（n）≥（m+n）[f（m+n）-ln2]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a=0，即f（x）=lnx，
①求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值，
②不妨設(shè)m≥n＞0，令n=x，構(gòu)造函數(shù)h（x）=mlnm+xlnx-（m+x）ln$\frac{m+x}{2}$，x＞0，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值，問(wèn)題得以證明．

解答 解：（Ⅰ）：∵f（x）=ax+$\frac{a}{x}$+（1-a²）lnx，x＞0，
∴f′（x）=a-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1-{a}^{2}}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+（1-{a}^{2}）x-a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（ax+1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a≠0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=a或x=-$\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，即x＞a時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，即0＜x＜a時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，即0＜x＜-$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，即x＞-$\frac{1}{a}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上所述：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
（Ⅱ）∵y=f（x）在x=1處的切線斜率為1，
∴f′（1）=$\frac{（1-a）（a+1）}{1}$=1，
解得a=0，
∴f（x）=lnx，
①g（x）=xf（x）+（t-x）f（t-x）=xlnx+（t-x）ln（t-x），0＜x＜t，
∴g′（x）=1+lnx-1-ln（t-x）=ln$\frac{x}{t-x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$t，
當(dāng)g′（x）＞0，即$\frac{t}{2}$＜x＜t，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0，即0＜x＜$\frac{t}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（$\frac{t}{2}$）=tln$\frac{t}{2}$
②不妨設(shè)m≥n＞0，令n=x，
h（x）=mlnm+xlnx-（m+x）ln$\frac{m+x}{2}$，x＞0，
∴h′（x）=1+lnx-1-ln$\frac{m+x}{2}$=ln$\frac{2x}{m+x}$，
令h′（x）=0，解得x=m，
當(dāng)h′（x）＞0，即x＞m，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)h′（x）＜0，即0＜x＜m，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（m）=0，
∴mf（m）+nf（n）≥（m+n）[f（m+n）-ln2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論其中的參數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值，證明不等式一般是抽象出一個(gè)新的函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式是解答題考查的一個(gè)重點(diǎn)．