Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=4-2t}\end{array}\right.$（參數(shù)t∈R），同時(shí)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ（θ為參數(shù)）
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，求解圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出直線的普通方程，然后求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理求解即可．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ（θ為參數(shù)）
可得ρ²=4ρcosθ，可得圓的普通方程為：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=4-2t}\end{array}\right.$（參數(shù)t∈R），消去參數(shù)t，可得2x+y=6．
圓的圓心（2，0），半徑為：2，圓心到直線的距離為：$\frac{|4-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)：2$\sqrt{{2}^{2}-{（\frac{2}{\sqrt{5}}）}^{2}}$=$2\sqrt{4-\frac{4}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．