Question

【題目】如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC= ，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥平面A1OB；
（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)A1C，∵AC=AA1，∠A1AC= ，AB=BC，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，

∴A1O⊥AC，BO⊥AC，

∵A1O∩BO=O，

∴AC⊥平面A1OB．

（2）解：∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BO，

∴以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，﹣1，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），A1（0，0， ），B1（ ,1, ），

∴ =（0，1， ）， =（ ，2， ）（）， =（0，2，0），

設(shè)平面AB1C的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=﹣1，得 =（﹣1，0，1），

又平面ABC的法向量為 =（0，0， ），

∴cos＜ ＞= = = ，

∴二面角B1﹣AC﹣B的余弦值為

【解析】（1）連結(jié)A1C，推導(dǎo)出A1O⊥AC，BO⊥AC，由此能證明AC⊥平面A1OB．（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．