Question

4．已知四面體A-BCD的外接球的球心O在BD上，且AO⊥平面BCD，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，若四面體A-BCD的體積為$\frac{3}{2}$，則球O的體積為4$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 根據(jù)球的性質(zhì)可得O是BD中點(diǎn)，且BC⊥CD，設(shè)球的半徑為R，計(jì)算出棱錐的體積，列出方程解出R，代入球的體積公式計(jì)算球的體積．

解答 解：∵四面體A-BCD外接于球O，∴OA=OB=OD，∴O是BD的中點(diǎn)，∴BC⊥CD．
設(shè)四面體A-BCD的外接球的半徑為R，則BD=2R，BC=$\sqrt{3}$R，∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=R，
∴V_棱錐A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•OA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×R×R$=$\frac{3}{2}$，解得R=$\sqrt{3}$．
∴球O的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=4$\sqrt{3}π$．
故答案為：4$\sqrt{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐與球的關(guān)系，空間幾何體的體積計(jì)算，作出直觀圖分析棱錐各邊與球半徑的關(guān)系是關(guān)鍵．