Question

13．已知命題p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示橢圓，命題q：$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1表示雙曲線，若命題“p∧q”為真命題，則實數m的取值范圍是-1＜m＜3，且m≠2．

Answer 1

分析 利用橢圓與雙曲線的標準方程及其性質分別化簡命題p，q，再利用復合真假的性質即可得出．

解答 解：命題p：$\frac{{x}^{2}}{m+2}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{m+2＞0}\\{6-m＞0}\\{m+2≠6-m}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜6，且m≠2．
命題q：$\frac{{x}^{2}}{m-3}$+$\frac{{y}^{2}}{m+1}$=1表示雙曲線，則（m-3）（m+1）＜0，解得-1＜m＜3．
若命題“p∧q”為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜6，m≠2}\\{-1＜m＜3}\end{array}\right.$，
解得-1＜m＜3，且m≠2．
故答案為：-1＜m＜3，且m≠2．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．