Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），且經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）設(shè)點B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點B與點D關(guān)于原點O對稱．設(shè)直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
①求k₁k₂的值；
②求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+3，（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓的方程及離心率；
（2）①利用斜率公式，即可求k₁k₂的值；
②由①知，k₃k₄=k₁k₂=$-\frac{1}{4}$，故x₁x₂=-4y₁y₂．利用OB²+OC²=$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$，求OB²+OC²的值．

解答 解：（1）依題意，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+3，…2分
由$\frac{3}{{{b^2}+3}}+\frac{{\frac{1}{4}}}{b^2}=1$，解得b²=1（b²=$-\frac{3}{4}$，不合，舍去），從而a²=4．
故所求橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…5分
（2）①設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則D（-x₁，-y₁），
于是k₁k₂=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}$=$\frac{{（1-\frac{x_2^2}{4}）-（1-\frac{x_1^2}{4}）}}{x_2^2-x_1^2}$=$-\frac{1}{4}$．…8分
②由①知，k₃k₄=k₁k₂=$-\frac{1}{4}$，故x₁x₂=-4y₁y₂．
所以（x₁x₂）²=（-4y₁y₂）²，即（x₁x₂）²=$16（1-\frac{x_1^2}{4}）（1-\frac{x_2^2}{4}）$=$16-4（x_1^2+x_2^2）+x_1^2x_2^2$，
所以，$x_1^2+x_2^2$=4．…11分
又2=$（\frac{x_1^2}{4}+y_1^2）+（\frac{x_2^2}{4}+y_2^2）$=$\frac{x_1^2+x_2^2}{4}+y_1^2+y_2^2$，故$y_1^2+y_2^2=1$．
所以，OB²+OC²=$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$=5．…14分

點評 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查斜率公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．