Question

18．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=2BE=4．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在一點F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求$\frac{AF}{AB}$的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件便可證明平面BCE∥平面PAD，從而便得到CE∥平面PAD；
（Ⅱ）首先分別以AB，AD，AP三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，要使平面DEF⊥平面PCE，便有這兩平面的法向量垂直，設(shè)F（a，0，0），平面PCE的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{m}$，同樣的辦法表示出平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$，根據(jù)$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$即可求出a，從而求出$\frac{AF}{AB}$．

解答 解：（Ⅰ）證明：BE∥PA，PA?平面PAD，BE?平面PAD；
∴BE∥平面PAD；
同理，∵ABCD為正方形，∴BC∥AD，∴BC∥平面PAD；
又BC∩BE=B；
∴平面EBC∥平面PAD，CE?平面EBC；
∴CE∥平面PAD；
（Ⅱ）分別以邊AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：

B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0）；
∴$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，$\overrightarrow{PE}=（4，0，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-4）$；
設(shè)平面PCE的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$；
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2x-z=0}\end{array}}\right.$；
令x=1，則$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow m=（1，1，2）$；
可設(shè)F（a，0，0），則$\overrightarrow{FE}=（4-a，0，2）$，$\overrightarrow{DE}=（4，-4，2）$；
設(shè)平面DEF的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2x-2y+z=0}\\{（4-a）x+2z=0}\end{array}}\right.$；
令x=2，則$\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{a}{2}}\\{z=a-4}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow n=（2，\frac{a}{2}，a-4）$；
由平面DEF⊥平面PCE，得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，即$2+\frac{a}{2}+2a-8=0$，$a=\frac{12}{5}＜4$；
∴點$F（\frac{12}{5}，0，0）$；
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{3}{5}$．

點評 考查線面平行、面面平行的判定定理，通過證明直線所在平面和另一平面平行來證明線面平行的方法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決面面垂直問題的方法．以及平面法向量的概念及求法，兩非零向量垂直的充要條件．