Question

1．如圖所示，已知直二面角α-AB-β，P∈α，Q∈β，PQ與平面α，β所成的角都為30°，PQ=4，PC⊥AB，C為垂足，QD⊥AB，D為垂足，求：
（1）直線PQ與CD所成角的大小
（2）四面體PCDQ的體積．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)PC⊥β以及常用的結(jié)論：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ即可求出結(jié)果；
（2）求出幾何體的高與底面面積，即可求解幾何體的體積．

解答 解：（1）直二面角α-AB-β，P∈α，Q∈β，PQ與平面α，β所成的角都為30°，PQ=4，PC⊥AB，C為垂足，QD⊥AB，D為垂足，設(shè)直線AB與CD所成的角為θ，則由PC⊥AB，cos∠DCQ=$\frac{CD}{CQ}$=$\frac{\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
可知PC⊥β知：cosθ=cos∠PQC•cos∠DCQ=cos30°•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故θ=45°；
（2）由題意可知三棱錐的高為PC=2，底面CQD的面積為：$\frac{1}{2}$CD•DQ=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
三棱錐的體積為：$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間直線所成的角以及二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．