【題目】如圖,在多面體中,四邊形為正方形,,,.
(1)證明:平面平面.
(2)若平面,二面角為,三棱錐的外接球的球心為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
證明平面即可證明平面平面(2)由題確定二面角的平面角為,進(jìn)而推出為線段的中點,以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系由空間向量的線面角公式求解即可
(1)證明:因為四邊形為正方形,
所以,
又,,
所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2)解:由(1)知平面,又,則平面,從而,
又,所以二面角的平面角為.
以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則,,.
因為三棱錐的外接球的球心為,所以為線段的中點,
則的坐標(biāo)為,.
設(shè)平面的法向量為,則,
即令,得.
易知平面的一個法向量為,
則.
由圖可知,二面角為銳角,
故二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓P恒過定點,且與直線相切.
(Ⅰ)求動圓P圓心的軌跡M的方程;
(Ⅱ)正方形ABCD中,一條邊AB在直線y=x+4上,另外兩點C、D在軌跡M上,求正方形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當(dāng)前,以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試,是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動,保證學(xué)生健康成長的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試,三項考試滿分50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試,得到下邊頻率分布直方圖,且規(guī)定計分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個數(shù) | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于35分的概率;;
(Ⅱ)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)服從正態(tài)分布,用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差,已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗,該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練,正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步,假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個,現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:
預(yù)計全年級恰有2000名學(xué)生,正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))
若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測試時每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論,利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點,具體方法如下:(l)取線段AB=2,過點B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取BC=AB,連接AC;(2)以C為圓心,BC為半徑畫弧,交AC于點D;(3)以A為圓心,以AD為半徑畫弧,交AB于點E.則點E即為線段AB的黃金分割點.若在線段AB上隨機(jī)取一點F,則使得BE≤AF≤AE的概率約為( 。▍⒖紨(shù)據(jù):2.236)
A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為研究車輛發(fā)車間隔時間(分鐘)與乘客等候人數(shù)(人)之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
間隔時間(分鐘) | ||||||
等候人數(shù)(人) |
調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過,則稱所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”.
(1)從這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取組數(shù)據(jù)后,求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時間之差大于的概率;
(2)若選取的是后面組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;
(3)在(2)的條件下,為了使等候的乘客不超過人,則間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘?(精確到整數(shù))
參考公式:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,AB=3,=4,M為的中點,P是BC邊上的一點,且由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到M點的最短路線長為,設(shè)這條最短路線與的交點為N,求
(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長.
(2)PC和NC的長
(3)平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大。ㄓ梅慈呛瘮(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在處取得極值,不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,證明不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分) 已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點,過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線:與焦點為的拋物線:相切.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)過點的直線與拋物線交于,兩點,求,兩點到直線的距離之和的最小值.
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