【題目】如圖，在正三棱柱中，AB=3，=4，M為的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，且由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到M點(diǎn)的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為N，求

（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長.

（2）PC和NC的長

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）

【答案】（1）（2）PC=2，NC= （3）

【解析】

（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對(duì)角線長．
（2）在側(cè)面展開圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進(jìn)而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（3）補(bǔ)形，找出兩面的交線，由三垂線定理作出二面角的平面角，二面角易求．

解：(1)正三棱柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9,寬為4的矩形

故其對(duì)角線長為；

(2)如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)120使其與側(cè)面在同一平面上,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置,連接,則就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到點(diǎn)M的最短路線

設(shè)，則，在中，由勾股定理得x=2,

，

，

；

(3)如圖,連接，則就是平面NMP與平面ABC的交線,作NH⊥于H,又⊥平面ABC,連接CH,由三垂線定理得,CH⊥，

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)，

在中, ，

，

在中, ，

故平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為，

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等腰三角形△ABC的兩腰AB和AC所在直線的方程分別為和是底邊BC上一點(diǎn),求:

(1)底邊BC所在直線的方程；

(2)△ABC的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一般來說，一個(gè)人腳掌越長，他的身高就越高，現(xiàn)對(duì)10名成年人的腳掌與身高進(jìn)行測(cè)量，得到數(shù)據(jù)（單位：cm）作為樣本如表所示：

腳掌長（）

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

身高（）

141

146

154

160

169

176

181

188

197

203

（1）在上表數(shù)據(jù)中，以“腳掌長”為橫坐標(biāo)，“身高”為縱坐標(biāo)，作出散點(diǎn)圖后，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程；

（2）若某人的腳掌長為26.5cm，試估計(jì)此人的身高；

（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行進(jìn)一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.

（參考數(shù)據(jù)：，，，，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，， O為DE的中點(diǎn)，．F為的中點(diǎn)，平面平面BCED．

（1）求證：平面 平面．

（2）線段OC上是否存在點(diǎn)G，使得平面EFG？說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，平面為的中點(diǎn)，，，

（1）證明：平面；

（2）如果二面角的正切值為2，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn)分別是橢圓的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（都在軸上方）．且．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】汕尾市基礎(chǔ)教育處為調(diào)查在校中學(xué)生每天放學(xué)后的自學(xué)時(shí)間情況，在本市的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)將日均自學(xué)時(shí)間小于1小時(shí)的學(xué)生稱為“自學(xué)不足”者根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表，已知在調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)抽取1人，為“自學(xué)不足”的概率為．

非自學(xué)不足

自學(xué)不足

合計(jì)

配有智能手機(jī)

30

沒有智能手機(jī)

10

合計(jì)

請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為“自學(xué)不足”與“配有智能手機(jī)”有關(guān)？

附表及公式: ，其中

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于集合,定義函數(shù)對(duì)于兩個(gè)集合,定義集合. 已知, .

(Ⅰ)寫出和的值,并用列舉法寫出集合;

(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的個(gè)數(shù),求的最小值;

(Ⅲ)有多少個(gè)集合對(duì),滿足,且?

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