Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分13分） 已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線(xiàn)C上.

（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線(xiàn)l的方程

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 雙曲線(xiàn)方程為(Ⅱ) 滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l有兩條，基方程分別為y=和y=

【解析】

試題（1）由雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)可得值，進(jìn)而可得到的關(guān)系式，將點(diǎn)P代入雙曲線(xiàn)可得到的關(guān)系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線(xiàn)方程；（2）求直線(xiàn)方程采用待定系數(shù)法，首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式，與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，求得相交的弦長(zhǎng)和O到直線(xiàn)的距離，代入面積公式可得到直線(xiàn)的斜率，求得直線(xiàn)方程

試題解析：（1）由已知及點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上得

解得；所以，雙曲線(xiàn)的方程為．

（2）由題意直線(xiàn)的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)的方程為

由 得 設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、，則、是上方程的兩不等實(shí)根，

且即且 ①

這時(shí) ，

又

即

所以 即

又 適合①式

所以，直線(xiàn)的方程為與．

另解：求出及原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,利用求解． 或求出直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，利用

求解