Question

如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝3，BC＝2，CC₁＝5，E是棱CC₁上不同于端點(diǎn)的點(diǎn)，且

    （1） 當(dāng)∠BEA₁為鈍角時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；

    （2） 若λ＝，記二面角B₁－A₁B－E的的大小為θ，求|cosθ|．

 

Answer 1

解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

     由題設(shè)，知B(2，3，0)，A₁(2，0，5)，C(0，3，0)，C₁(0，3，5)．

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/28/00/2014102800584128463139.files/image085.jpg'>，所以E(0，3，5λ)．

     從而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)

     當(dāng)∠BEA₁為鈍角時(shí)，cos∠BEA₁＜0，

     所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

     解得＜λ＜．

     即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(，)．            

（2）當(dāng)λ＝時(shí)，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

設(shè)平面BEA₁的一個(gè)法向量為n₁＝(x，y，z)，

   取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA₁的一個(gè)法向量為n₁＝(1，，1)．  

    易知，平面BA₁B₁的一個(gè)法向量為n₂＝(1，0，0)．

    因?yàn)閏os< n₁，n₂>＝＝，

    從而|cosθ|＝．