Question

如圖，有兩條相交直線成60°角的直路X′X，Y′Y，交點是O，甲、乙兩人分別在OX，OY上，甲的起始位置距離O點3km，乙的起始位置距離O點1km，后來甲沿X′X的方向，乙沿Y′Y的方向，兩人同時以4km/h的速度步行．
（1）求甲乙在起始位置時兩人之間的距離；
（2）設th后甲乙兩人的距離為d（t），寫出d（t）的表達式；當t為何值時，甲乙兩人的距離最短，并求出此時兩人的最短距離．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,解三角形

分析：（1）連接AB，在三角形OAB中，由OA，OB及cos∠AOB的值，利用余弦定理即可求出AB的長；
（2）設運動的時間是t小時，兩點運動的路程為4tkm，表示出此時的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的長，根據(jù)t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出兩人距離最短時的時間t的值．

解答： 解：（1）連接AB，如下圖所示：

在△OAB中，OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根據(jù)余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=

7

（km）；
（2）A在O的右邊，則t小時走的路為4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根據(jù)余弦定理得：d（t）=

48t2-24t+7

，且0≤t＜

3

4

，
設m=48t²-24t+7，可得m在[0，

3

4

）的最小值為m（

1

4

）=4，
則當t=

1

4

h時，兩人的距離最短，最短距離為2．

點評：此題考查了余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．