【題目】如圖,在正四棱錐P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,E是棱PC的中點(diǎn),過(guò)AE作平面分別與棱PB、PD交于M、N兩點(diǎn).
(1)若PM= PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】
(1)解:連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,﹣ ,0),B ( ,0,0),C(0, ,0),D(﹣ ,0,0),P(0,0,2),E(0, ,1)
, , , , .
,
∵AN,AE,AM共面,∴
(2)解:根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,
,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最。
①由(Ⅰ)知當(dāng)PM=PN時(shí),λ= , ,
設(shè)面AMEN的法向量為 ,
由 , 取
設(shè)直線PA與平面AMEN所成角為θ,sinθ=|cos< >|= ,
②當(dāng)M在B時(shí),因?yàn)锳B∥面PDC,所以過(guò)AB,AE的面與面PDC的交線NE∥AB
設(shè) 是面ABEN的法向量,
由 ,可取
sinθ=|cos< >|= .
直線PA與平面AMEN所成角的正弦值的取值范圍為[ , ]
【解析】(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,﹣ ,0),B ( ,0,0),C(0, ,0),D(﹣ ,0,0),P(0,0,2),E(0, ,1)由AN,AE,AM共面, .(2)根據(jù)正四棱錐P﹣ABCD的對(duì)稱性可知,當(dāng)PM=PN時(shí),P到面AMEN的距離最大,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最大,P到面AMEN的距離最小,此時(shí)直線PA與平面AMEN所角最。孟蛄糠謩e求出求解直線PA與平面AMEN所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)有是實(shí)數(shù)解時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某幼兒園為訓(xùn)練孩子的數(shù)字運(yùn)算能力,在一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的卡片各兩張,讓孩子從盒子里任取3張卡片,按卡片上的最大數(shù)字的9倍計(jì)分,每張卡片被取出的可能性都相等,用X表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字
(1)求取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率;
(2)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)若孩子取出的卡片的計(jì)分超過(guò)30分,就得到獎(jiǎng)勵(lì),求孩子得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+2a|+|x﹣1|,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),解不等式f(x)≤5;
(2)若f(x)≥2對(duì)于x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,有兩個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)盤()、().兩個(gè)圖中三個(gè)扇形區(qū)域的圓心角分別為、、.用這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行玩游戲,規(guī)則是:依次隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤再隨機(jī)停下(指針固定不會(huì)動(dòng),當(dāng)指針恰好落在分界線時(shí),則這次結(jié)果無(wú)效,重新開(kāi)始),記轉(zhuǎn)盤()指針?biāo)鶎?duì)的數(shù)為,轉(zhuǎn)盤()指針?biāo)鶎?duì)的數(shù)為,(、),求下列概率:
(1);
(2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)( )
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減 D. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量 =(a, b)與 =(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離是,當(dāng)時(shí)取得最小值.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值;
(3)若函數(shù)的零點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中, , 為線段(含端點(diǎn))上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)對(duì)于函數(shù),給出以下三個(gè)結(jié)論:
①當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?/span>;
②對(duì)于任意的,均有;
③對(duì)于任意的,函數(shù)的最大值均為4.
其中所有正確的結(jié)論序號(hào)為__________.
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