Question

13．若sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，其中0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，則cos（α+β）=$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和差的余弦公式利用α+β=（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，
∴0＜$\frac{π}{4}$-α＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+β＜$\frac{π}{2}$，
∵sin（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{12}{13}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{4}{5}$，cos（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{5}{13}$，
則cos（α+β）=cos[（$\frac{π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=cos（$\frac{π}{4}$-α）cos（$\frac{π}{4}$+β）+sin（$\frac{π}{4}$-α）sin（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
故答案為：$\frac{56}{65}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的求解，利用兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)鍵．注意條件角和結(jié)論角之間的關(guān)系．