Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；

（Ⅲ）證明： ．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出與，由且解方程組可求的值；（Ⅱ）恒成立等價(jià)于恒成立，先證明當(dāng)時(shí)恒成立，再證明時(shí)不恒成立，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅲ））由，令，

即，即，令 ，各式相加即可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ)由題意可知，和在處有相同的切線，

即在處且，

解得.

（Ⅱ）現(xiàn)證明，設(shè)，

令，即，

因此，即恒成立，

即，

同理可證.

由題意，當(dāng)時(shí)，且，

即，

即時(shí)，成立.

當(dāng)時(shí)，，即不恒成立.

因此整數(shù)的最大值為2.

（Ⅲ）由，令，

即，即

由此可知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

……

當(dāng)時(shí)，.

綜上：

.

即.