Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E： 的離心率為 ，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為 ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)F（c，0）， ，解得 ，又 ，∴a=2，b=1，

∴橢圓E： ；

（2）解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；

當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即 或k ．

，

從而

= ，

又點(diǎn)O到直線PQ的距離 ，

∴△OPQ的面積 ，

設(shè) ，則t＞0，

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，

即 時(shí)，等號(hào)成立，且△＞0．

此時(shí) ．

【解析】（1）設(shè)出F，由直線AF的斜率為 求得c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx﹣2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，再由弦長公式求得|PQ|，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到l的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出k值，則直線方程可求．