Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對于任意實(shí)數(shù)a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2，試判斷f（x）在[-3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，如果沒有，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我們可以得到設(shè)x=y=0，則f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到結(jié)論f（x）為奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義由x＞0時，有f（x）＞0，結(jié)合對于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．

解答： 解：令a=b=0知f（0）=0，
令a=x，b=-x，則f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為奇函數(shù)．
任取兩個自變量x₁，x₂且-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0知f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
因此f（x）在[-3，3）上有最大值f（-3），
由于x≠3，則f（3）取不到，無最小值．              
由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，
故最大值為f（-3）=-f（3）=6．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)，考查函數(shù)奇偶性及單調(diào)性與性質(zhì)及應(yīng)用，是對函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用的綜合考查．