Question

若函數(shù)f（x）=lg（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lg（x+

a

x

-3）為函數(shù)y=lgx與y=（x+

a

x

-3）的復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是同則增，異則減，因?yàn)楹瘮?shù)y=lgx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，要想復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，只需在定義域上y=（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，同時(shí)還要保證真數(shù)恒大于零，由函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不等式即可求得a的范圍

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=lg（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=（x+

a

x

-3）在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴y′=1-

a

x2

≥0，在[2，+∞）恒成立，
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然y′=1-

a

x2

≥0，顯然符合題意
當(dāng)a＞0時(shí)，y′=1-

a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即a≤x²，在[2，+∞）恒成立，
∴a≤4，
綜上所述a≤4，
故a的取值范圍為（-∞，4]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的定義域與單調(diào)性，不等式恒成立問(wèn)題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法