Question

10．若函數(shù)f（x）對(duì)定義域I內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都存在常數(shù)a，b滿足f（2a-x）+f（x）=2b成立，則稱函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱．
（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，求證：m=1；
（2）在（1）的結(jié)論下，已知g（x）=-x²+kx+1，若對(duì)于任意的t∈（0，+∞）和x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）＜f（x）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，則f（-x）+f（x）=2，進(jìn)而可得m的值；
（2）將已知轉(zhuǎn)化為：-x²+kx+1＜$\frac{{t}^{2}+t+1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+1對(duì)于任意的t∈（0，+∞）和x∈（0，+∞）恒成立，結(jié)合基本不等式利用分離參數(shù)法，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，
∴f（-x）+f（x）=2，
即$\frac{{x}^{2}-mx+m}{-x}$+$\frac{{x}^{2}+mx+m}{x}$=$\frac{2mx}{x}$=2m=2，
∴m=1；
（2）在（1）的結(jié)論下，-x²+kx+1＜$\frac{{t}^{2}+t+1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+1對(duì)于任意的t∈（0，+∞）和x∈（0，+∞）恒成立，
∵t∈（0，+∞）時(shí)，t+$\frac{1}{t}$+1≥3，
∴-x²+kx+1＜3在（0，+∞）恒成立，
即k＜x+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）恒成立，
∵x+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{2}$在（0，+∞）上恒成立，
故k＜2$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性，恒成立問題，函數(shù)的最值，基本不等式，是函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．