Question

15．2016年時紅軍長征勝利80周年，某市電視臺舉辦紀(jì)念紅軍長征勝利80周年知識回答，宣傳長征精神．首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進(jìn)行支持簽名活動，其次在各公園簽名的人按分層抽樣的方式抽取10名幸運(yùn)之星，每人獲得一個紀(jì)念品，其數(shù)據(jù)表格如下：

公園	甲	乙	丙	丁
獲得簽名人數(shù)	45	60	30	15

（Ⅰ）求此活動中各公園幸運(yùn)之星的人數(shù)；
（Ⅱ）從乙和丙公園的幸運(yùn)之星中任選兩人接受電視臺記者的采訪．求這兩人均來自乙公園的概率；
（Ⅲ）電視臺記者對乙公園的簽名人進(jìn)行了是否有興趣研究“紅軍長征”歷史的問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下（單位：人）：

	有興趣	無興趣	合計
男	25	5	30
女	15	15	30
合計	40	20	60

據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關(guān)．
附臨界值及公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分層抽樣原理分別計算甲、乙、丙、丁公園中幸運(yùn)之星的人數(shù)；
（Ⅱ）用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值；
（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)，計算觀測值K²，對照臨界值得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）甲公園中幸運(yùn)之星的人數(shù)為$\frac{45}{150}$×10=3，
乙公園中幸運(yùn)之星的人數(shù)為$\frac{60}{150}$×10=4，
丙公園中幸運(yùn)之星的人數(shù)為$\frac{30}{150}$×10=2，
丁公園中幸運(yùn)之星的人數(shù)為$\frac{15}{150}$×10=1；
（Ⅱ）設(shè)乙公園中的4人為A、B、C、D，丙公園的2人為e、f，
從中任選2人，基本事件是AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、
CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15種；
其中者兩人均來自乙公園的基本事件是
AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種，
故所求的概率為P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$；
（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)，計算觀測值K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{60{×（25×15-15×5）}^{2}}{40×20×30×30}$=7.5＞6.635，
據(jù)此判斷，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關(guān)．

點評 本題考查了列舉法求古典概型的概率問題，也考查了獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用問題，是綜合題．