Question

3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosC+c=2b．
（1）求角A的大�。�
（2）若a²=3bc，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)2acosC+c=2b，由正弦定理結合和角的正弦公式化簡，即可求角A的大��；
（2）由A=$\frac{π}{3}$及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，可得$\frac{c}$=2±$\sqrt{3}$，再分類求解，即可求tanB的值．

解答 解：（1）∵2acosC+c=2b，
∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB
=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0．
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
從而得A=$\frac{π}{3}$；                  
（2）由A=$\frac{π}{3}$及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，
即b²+c²-4bc=0，
∴$\frac{c}$=2±$\sqrt{3}$，
當$\frac{c}$=2+$\sqrt{3}$時，
又sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB，
故$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{tanB}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}tanB}$=2+$\sqrt{3}$，
∴tanB=-2-$\sqrt{3}$，
當$\frac{c}$=2-$\sqrt{3}$時，同理得tanB=2-$\sqrt{3}$，
綜上所述，tan B=-2-$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查正、余弦定理、三角變換，同時考查運算求解能力，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．