Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（I）當(dāng)a=3時，解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2a-1怛成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2，x＜-1}\\{4，-1≤x≤3}\\{2x-2，x＞3}\end{array}\right.$，分類求解不等式f（x）＞5，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，求出f（x）=|x+1|+|x-a|的最小值，由絕對值不等式進而可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=3時，f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2，x＜-1}\\{4，-1≤x≤3}\\{2x-2，x＞3}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜-1時，解f（x）=-2x+2＞5得：x＜-$\frac{3}{2}$；
當(dāng)-1≤x≤3時，解f（x）=4＞5恒不成立；
當(dāng)x＞3時，解f（x）=2x-2＞5得：x＞$\frac{7}{2}$，
綜上可得不等式f（x）＞5的解集為：（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{7}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥2a-1怛成立，
即有2a-1≤f（x）_min，
由|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+1|，
則|a+1|≥2a-1，
可得a+1≥2a-1或a+1≤1-2a，
解得a≤2或a≤0，
則a的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對值三角不等式，注意運用轉(zhuǎn)化思想，以及分類討論思想方法，難度中檔．