Question

17．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$兩條漸近線l₁、l₂與拋物線y²=-4x的準(zhǔn)線l圍成區(qū)域Ω（包含邊界），對(duì)于區(qū)域Ω內(nèi)任一點(diǎn)（x，y），若$\frac{y+1}{x+3}$的最大值小于1，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為（1，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程，畫出區(qū)域Ω，利用$\frac{y+1}{x+3}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)P（-3，-1）的斜率，結(jié)合圖象，連接PA，可得斜率最大，再由雙曲線的a，b，c關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
拋物線y²=-4x的準(zhǔn)線1：x=1，
漸近線l₁，l₂與拋物線y²=-4x的準(zhǔn)線1圍成區(qū)域Ω，如圖，
k=$\frac{y+1}{x+3}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)P（-3，-1）的斜率，
求得A（1，$\frac{a}$），B（1，-$\frac{a}$），
連接PA，可得斜率最大為k=$\frac{\frac{a}+1}{4}$，
由題意可得$\frac{\frac{a}+1}{4}$＜1，
可得$\frac{a}$＜3，即3a＞b，9a²＞b²=c²-a²，
即c²＜10a²，即有c＜$\sqrt{10}$a．
可得1＜e＜$\sqrt{10}$．
故答案為：（1，$\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線和拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查直線的斜率的范圍，屬于中檔題．