Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F(xiàn)，G，H分別為PC、PD、BC、PA的中點(diǎn)．
求證：（1）PA∥平面EFG；
（2）DH⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)推出線面平行；
（2）由題意可證DH⊥PA，DH⊥AB，可證DH⊥平面PAB，從而證明DH⊥PB，由（1）EF∥AB，EG∥PB，從而證明DH⊥EG，DH⊥EF，即可證明DH⊥平面EFG．

解答 證明：（1）∵E、G分別是PC、BC的中點(diǎn)，
∴EG是△PBC的中位線，
∴EG∥PB，
又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，
又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB，
∵PA?平面PAB，
∴PA∥平面EFG．
（2）∵PD⊥AD，PD=AD，H為的中點(diǎn)，
∴DH⊥PA，
∵BA⊥平面PDA，DH?平面PDA，
∴DH⊥AB，
∴DH⊥平面PAB，
∴DH⊥PB，
由（1）EF∥AB，EG∥PB，
∴DH⊥EG，DH⊥EF，
∴DH⊥平面EFG．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面平行的判定定理的應(yīng)用，線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，此類試題也是立體幾何的重點(diǎn)考查的試題類型，屬于中檔題．