Question

16．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理和余弦定理即可求出B的大��；
（Ⅱ）當b=2時，由（1）的結(jié)論可得a²+c²-4=ac，利用基本不等式可求出ac≤4，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，A+B=π-C，
∴$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$⇒$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a-c}{a-b}$，
∴a²-b²=ac-c²，
∴a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=2，
∴a²+c²-4=ac，
∴2ac-4≤ac，
∴ac≤4，當且僅當a=c=2時取等號，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的應用，三角形面積公式的應用，屬于中檔題．