Question

【題目】如圖☆的曲線，其生成方法是（I）將正三角形（圖（1））的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖（2）；(II)將圖（2）的每邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖（3）；(III)再按上述方法繼續(xù)做下去，所得到的曲線稱為雪花曲線(Koch　Snowflake)，

（1）（2）（3）.

設(shè)圖（1）的等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，并且分別將圖（1）、（2）、（3）…中的圖形依次記作M1、M2、M3、……

（1）設(shè)中的邊數(shù)為中每條邊的長(zhǎng)度為，寫(xiě)出數(shù)列和的遞推公式與通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)的周長(zhǎng)為，所圍成的面積為，求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式；請(qǐng)問(wèn)周長(zhǎng)與面積的極限是否存在？若存在，求出該極限，若不存在，簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）且，；，； （2）；；周長(zhǎng)的極限不存在，面積的極限為.

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合圖形的變換，分別得出數(shù)列和的遞推關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；

（2）根據(jù)圖象的變換規(guī)律，得出數(shù)列和的遞推關(guān)系式，結(jié)合疊加法和數(shù)列的極限，即可求解.

（1）由題意，可得數(shù)列的遞推關(guān)系式為且，

所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，

所以其通項(xiàng)公式為，

又由每個(gè)圖形的邊長(zhǎng)都相等，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的，

所以邊長(zhǎng)滿足遞推關(guān)系式，

即數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的圖通項(xiàng)公式為

（2）觀察發(fā)現(xiàn)，第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了它的周長(zhǎng)的，第三個(gè)圖形在第二個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，多了周長(zhǎng)的，第四個(gè)圖形在第三個(gè)的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，多了周長(zhǎng)的，依次類推，

可得周長(zhǎng)滿足遞推關(guān)系式且，

所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

由第一個(gè)三角形的面積，

當(dāng)時(shí)，，

則

.

又由極限的運(yùn)算法則，可得，所以周長(zhǎng)的極限不存在；

，即面積的極限為.