16.在△ABC,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0.
(Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)若a=$\sqrt{5}$,AB邊上的中線CM=$\sqrt{2}$,求sinB及△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知可得sinAsinC-2sinAcosC=0,由sinA≠0,可得tanC=2,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求cosC的值.
(Ⅱ)由$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$,兩邊平方得b2+2b-3=0,解得b,由余弦定理可解得c的值,即可求得sinB,利用三角形面積公式即可求△ABC的面積.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)因?yàn)閏osB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,…(1分)
又已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0,
所以sinAsinC-2sinAcosC=0,…(2分)
因?yàn)閟inA≠0,所以sinC-2cosC=0,…(3分)
于是tanC=2,…(4分)
所以$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$.…(6分)
(Ⅱ)因?yàn)?\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$,…(7分)
兩邊平方得b2+2b-3=0,解得b=1,…(8分)
在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4,所以c=2,…(10分)
由此可知△ABC是直角三角形,故$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,…(11分)
可得:△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=1$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理,以及三角形面積公式,平面向量及其運(yùn)算在解三角形中的應(yīng)用,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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(Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)若$a=\sqrt{5}$,AC邊上的中線$BM=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$,求△ABC的面積.

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