Question

16．在△ABC，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cosB+（cosA-2sinA）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{5}$，AB邊上的中線CM=$\sqrt{2}$，求sinB及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得sinAsinC-2sinAcosC=0，由sinA≠0，可得tanC=2，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求cosC的值．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$，兩邊平方得b²+2b-3=0，解得b，由余弦定理可解得c的值，即可求得sinB，利用三角形面積公式即可求△ABC的面積．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）因為cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，…（1分）
又已知cosB+（cosA-2sinA）cosC=0，
所以sinAsinC-2sinAcosC=0，…（2分）
因為sinA≠0，所以sinC-2cosC=0，…（3分）
于是tanC=2，…（4分）
所以$cosC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）因為$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$，…（7分）
兩邊平方得b²+2b-3=0，解得b=1，…（8分）
在△ABC中，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4，所以c=2，…（10分）
由此可知△ABC是直角三角形，故$sinB=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（11分）
可得：△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=1$．…（12分）

點評 此題考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，以及三角形面積公式，平面向量及其運算在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．